Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión. Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
ecuación
Despejamos la incógnita:
ecuación
ecuación
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:
ecuación
ecuación
Quitamos paréntesis:
ecuación
Agrupamos términos y sumamos:
ecuación
Despejamos la incógnita:
ecuación
ecuación
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.
ecuación
ecuación
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
Una ecuación de una variable mx + n = 0 definida sobre un cuerpo \mathbb{K}, es decir, con \{m,n,x\} \subset \mathbb{K}, m\neq 0 donde x es la variable, admite la siguiente solución:
x = - \frac{n}{m}
Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:
\exists k: n = m\cdot k \Rightarrow x = -k
En dos incógnitas
En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:
y = m x + n ;
Donde m representa la pendiente y el valor de n determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
3x + 2y = 5 3x + y -5 = -7x + 4y +3 x - y + z = 15 3x - 2y + z = 20 x + 4y - 3z = 10
Formas alternativas
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Ax + By + C = 0
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1
Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
x = Ut + x_0 y = Vt + y_0
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto (x_0, y_0) y forma con el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface: \tan \alpha = V/U
Casos especiales:
y = F
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1 . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X o (si F = 0) coincidente con ese eje.
x = E
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0 . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
0 = 0
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3 x + 2 =3 x - 5 .
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultáneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones
Clasificación de ecuaciones lineales o de primer grado
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
ecuacines_libneales001
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
ecuaciones_lineales002
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.
Resolución de ecuaciones lineales En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los metódos de sustitución, igualación y reducción.
Método de sustitución
Sistemas ecuaciones
Método de reducción
Sistemas ecuaciones lineales
Método de igualación
Sistemas ecuaciones lineales Todo este contenido esta en este link que les dijo compañeros . Gracias http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm
Ecuaciones lineales
ResponderEliminarEcuación lineal con n incógnitas
Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b Pertenece ERRE.
Los valores ai se denominan coeficientes,
b es el término independiente.
Los valores xi son las incógnitas.
Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.
Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).
Ecuaciones lineales equivalentes
Son aquellas que tienen la misma solución.
x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0
Ecuaciones lineales de primer grado
Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.
Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
ecuación
Despejamos la incógnita:
ecuación
ecuación
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:
ecuación
ecuación
Quitamos paréntesis:
ecuación
Agrupamos términos y sumamos:
ecuación
Despejamos la incógnita:
ecuación
ecuación
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.
ecuación
ecuación
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
ecuación
En una incógnita
ResponderEliminarUna ecuación de una variable mx + n = 0 definida sobre un cuerpo \mathbb{K}, es decir, con \{m,n,x\} \subset \mathbb{K}, m\neq 0 donde x es la variable, admite la siguiente solución:
x = - \frac{n}{m}
Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:
\exists k: n = m\cdot k \Rightarrow x = -k
En dos incógnitas
En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:
y = m x + n ;
Donde m representa la pendiente y el valor de n determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
3x + 2y = 5
3x + y -5 = -7x + 4y +3
x - y + z = 15
3x - 2y + z = 20
x + 4y - 3z = 10
Formas alternativas
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Ax + By + C = 0
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1
Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
x = Ut + x_0
y = Vt + y_0
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto (x_0, y_0) y forma con el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface: \tan \alpha = V/U
Casos especiales:
y = F
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1 . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X o (si F = 0) coincidente con ese eje.
x = E
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0 . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
0 = 0
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3 x + 2 =3 x - 5 .
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultáneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones
Clasificación de ecuaciones lineales o de primer grado
ResponderEliminarSabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
ecuacines_libneales001
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
ecuaciones_lineales002
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
ecuaciones_lineales003
ResponderEliminarLas ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.
Resolución de ecuaciones lineales
En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
http://www.slideshare.net/chela5808/ej-ec-lin001-presentation
Sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas
ResponderEliminarResolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los metódos de sustitución, igualación y reducción.
Método de sustitución
Sistemas ecuaciones
Método de reducción
Sistemas ecuaciones lineales
Método de igualación
Sistemas ecuaciones lineales
Todo este contenido esta en este link que les dijo compañeros .
Gracias
http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm